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公務員《行測》數學運算16種題型之數的分解與拆分
http://m.www5566.cn       2011-12-22      來源:山東公務員網
【字體: 】              

  數的拆分問題是公務員考試??嫉念}型之一,考察對數的基本特性的掌握,通常此類問題都比較靈活。一般來說此類問題整體難度不大,不過像考試中常用的代入法等在此將不再實用,故掌握方法就變得特別重要。

  1.分解因式型:就是把一個合數分解成若干個質數相乘的形式。運用此方法解題首先要熟練掌握如何分解質因數,還要靈活組合這些質因數來達到解題的目的。

  【例1】三個質數的倒數之和為a/231 ,則a=( )

  A.68 B.83 C.95 D.131

  【解析】將231分解質因數得231=3×7×11,則 1/3+1/7 +1/11 =131/231 ,故a=131。

  【例2】 四個連續(xù)的自然數的積為3024,它們的和為( )

  A.26 B.52 C.30 D.28

  【解析】分解質因數:3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9,所以四個連續(xù)的四個自然數的和為6+7+8+9=30。

  【例3】20^n是2001*2000*1999*1998*……*3*2*1的因數,自然數n最大可能是多少?

  A 499 B500 C 498 D501

  【解析】20^n=5*2*2的N次方,顯然2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中,能分解出來的2個個數要遠遠大于5的個數,所以2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少個5也就是N的最大值,由此計算所求應為【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。

  注:【】取整數部分。

  2.已知某幾個數的和,求積的最大值型:

  基本原理:a2+b2≧2ab,(a,b都大于0,當且僅當a=b時取得等號)推 論:a+b=K(常數),且a,b都大于0,那么ab≦((a+b)/2)2,當且僅當a=b時取得等號。此結論可以推廣到多個數的和為定值的情況。

  【例1】3個自然數之和為14,它們的的乘積的最大值為( )

  A.42 B.84 C.100 D.120

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  若使乘積最大,應把14拆分為5+5+4,則積的最大值為5×5×4=100。也就是說,當不能滿足拆分的數相等的情況下,就要求拆分的數之間的差異應該盡量的小,這樣它們的乘積才能最大,這是做此類問題的指導思想。下面再舉一列大家可以自己體會.

  【例2】將17拆分成若干個自然數的和,這些自然數的乘積的最大值為( )A.256 B.486 C.556 D.376

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  將17拆分為17=3+3+3+3+3+2時,其乘積最大,最大值為 ×2=486。

  3. 排列組合型: 運用排列組合知識解決數的分解問題。要求對排列組合有較深刻的理解,才能達到靈活運用的目的。

  【例1】有多少種方法可以把100表示為(有順序的)3個自然數之和?( )

  A.4851 B.1000 C.256 D.10000

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  插板法:100可以想象為100個1相加的形式,現在我們要把這100個1分成3份,那么就相等于在這100個1內部形成的99個空中,任意插入兩個板,這樣就把它們分成了三個部分。而從99個空任意選出兩個空的選法有:C992=99×98/2=4851(種);故選A。

  (注:此題沒有考慮0已經劃入自然數范疇,如果選項中出現把0考慮進去的選項,建議選擇考慮0的那個選項。)

  【例2】 學校準備了1152塊正方形彩板,用它們拼成一個長方形,有多少種不同的拼法?

  A.1152 B.384 C.28 D.12

  【解析】本題實際上是想把1152分解成兩個數的積。

  1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36,故有12種不同的拼法。

  解法二:(用排列組合知識求解)

  由1152=27×32,那么現在我們要做的就是把這7個2和2個3分成兩部分,當分配好時,那么長方形的長和寬也就固定了。

  具體地: 1)當2個3在一起的時候,有8種分配方法(從后面有0個2一直到7個2); 2)當兩個3不在一起時,有4種分配方法,分別是一個3后有0,1,2,3個2。故共有8+4=12種。

  解法三:若1152=27×32,那么1152的所有乘積為1152因數的個數為(7+1)×(2+1)=24個,每兩個一組,故共有24÷2=12組。

  【例1】將450分拆成若干連續(xù)自然數的和,有多少種分拆辦法?

  A9   B8  C7  D10

  【解析】整數分拆(嚴格地講是自然數分拆)形式多樣,解法也很多。

  下面談談如何利用確定“中間數”法解將一個整數分拆成若干個連續(xù)數的問題。 那么什么是“中間數”呢?其實這里的“中間數”也就是平均數。有的“中間數”是答數中的一個,如:1、2、3、4、5中的“3”便是;也有的“中間數”是為了解題方便虛擬的,并不是答數中的一個,如:4、5、6、7這四個數的“中間數”即為“5.5”。由此我們可知,奇數個連續(xù)自然數的“中間數”是一個整數,而偶數個連續(xù)自然數的“中間數”則為小數,并且是某個數的一半。

  一、 把一個自然數分拆成指定個數的連續(xù)數的和的問題。

  例1、把2000分成25個連續(xù)偶數的和,這25個數分別什么?

  分析與解:這道題如果一個一個地試,豈不是很麻煩,我們先求中間數:2000÷25=80,那么80的左邊有12個數,右邊也有12個數,再加上80本身,正好是25個數,我們又知相鄰兩個偶數相差2,那么這25個偶數中最小的便為:80—12×2=56,最大的為:80+12×2=104,故所求的這25個數為:56、58、………、80、………、102、104。

  例2、把105分成10個連續(xù)自然數的和,這10個自然數分別是多少?

  分析與解:我們仿照例1的辦法先求中間數:105÷10=10.5,“10.5”這個數是小數,并不是自然數,很明顯“10.5”不是所求的數中的一個,但我們可以把10.5“虛擬”為所求的數中的一個,這樣也就是10.5左邊有5個數,右邊也有5個數,距離10.5最近的分別是10、11,這10個數分別是:6、7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14、15。

  二、 把一個自然數分拆成若干個自然數的和的形式。

  例3、84分拆成2個或2個以上連續(xù)自然數的和,有幾種?分別是多少?

  分析與解:我們先把84分解質因數,84=2×2×3×7由分解式可以看出,84的不同質因數有2、3、7,這就說明能把84分拆成2、3、7的倍數個不同連續(xù)自然數的和,但是我們必須明確,有的個數是不符合要求的,例如把84分拆成2個連續(xù)自然數的和,無論如何是辦不到的,那么我們不妨把其分拆為3、7、8(2×2×2)個連續(xù)自然數的和。 分拆為3個連續(xù)自然數的和:(2×2×3×7)÷3=28 ,確定了“中間數”28,再依據例2的方法確定其它數,所以這三個數是27、28、29。 同理,分拆為7個連續(xù)自然數的和:(2×2×3×7)÷7=12 ,它們是9、10、11、12、13、14、15。 分拆為8(2×2×2)個連續(xù)自然數的和:(2×2×3×7)÷8=10.5 ,它們是7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14。其它情況均不符合要求。 再將此題引伸一步,怎樣判斷究竟有幾種分拆方式呢?就84而言,它有三種分拆方法,下面我們看84的約數有:1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。其中大于1的奇約數恰有三個。于是可以得此結論:若一個整數(0除外)有n個大于1的奇約數,那么這個整數就有n種分拆成2個或2個以上連續(xù)自然數的和的方法。

  450=2*3*3*5*5,大于1的奇約數為3,5,9,15,25,45,75,225一共8個,則共有8種拆分方法。

 

  行測更多解題思路和解題技巧,可參看2012年公務員考試技巧手冊



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