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山東公務(wù)員行測之比賽計(jì)數(shù)、錯位排列題解法
http://m.www5566.cn       2012-10-31      來源:山東公務(wù)員考試網(wǎng)
【字體: 】              
  一、比賽計(jì)數(shù)問題

  公務(wù)員考試中經(jīng)常會出現(xiàn)比賽計(jì)數(shù)問題,令許多考生頭疼不已。其實(shí),比賽計(jì)數(shù)問題是有一定技巧的,掌握了這些技巧,不僅可以節(jié)約時間,而且對正確解題有很大幫助。國家公務(wù)員網(wǎng)公務(wù)員考試輔導(dǎo)專家將為廣大考生介紹“比賽計(jì)數(shù)”問題的快速解題方法,并結(jié)合例題進(jìn)行講解,希望能給廣大考生一定的啟發(fā)和幫助。

  根據(jù)比賽規(guī)則,比賽計(jì)數(shù)問題主要分為四類,每類比賽都有對應(yīng)的解題方法,如下所示:

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  注意:單循環(huán)賽,即任意兩隊(duì)打一場比賽,和順序無關(guān),所以是組合問題;雙循環(huán)賽,即任意兩個隊(duì)打兩場比賽,和順序有關(guān),所以是排列問題。


  例1.100名男女運(yùn)動員參加乒乓球單打淘汰賽,要產(chǎn)生男、女冠軍各一名,則要安排單打賽多少場?( )


  A.90       B.95       C.98       D.100


  【解析】設(shè)有男運(yùn)動員a人,女運(yùn)動員b人。因?yàn)槭翘蕴?,則要產(chǎn)生男冠軍需要a-1場比賽,產(chǎn)生女冠軍需要b-1場比賽,總的比賽場次需要a+b-2場。


  例2.足球世界杯決賽圈有32支球隊(duì)參加,先平均分成八組,以單循環(huán)方式進(jìn)行小組賽;每組前兩名的球隊(duì)再進(jìn)行淘汰賽。直到產(chǎn)生冠、亞、季軍,總共需要安排( )場比賽。


  A.48      B.63      C.64      D.65


  【解析】首先將32人平均分成八組,則每組有4支球隊(duì),每組球隊(duì)要進(jìn)行單循環(huán)賽,則每組有C24,則八組總共需要C24×8=48種;又因?yàn)樵谛〗M賽中每組決出前兩名,八組一共決出16支隊(duì),也就是再對這16支隊(duì)伍進(jìn)行淘汰賽,直到產(chǎn)生冠、亞、季軍,則有16場比賽。所以總比賽場次為48+16=64。


  例3.8個甲級隊(duì)?wèi)?yīng)邀參加比賽,先平均分成兩組,分別進(jìn)行單循環(huán)賽,每組決出前兩名,再由每組的第一名和另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽,獲勝者角逐冠、亞軍,敗者角逐第3、4名,整個賽程的比賽場數(shù)是()


  A.16      B.15      C.14      D.13


  【解析】此題與例2的思路相同,不再贅述。


  以上比賽計(jì)數(shù)問題的解題方法簡單易懂,容易掌握,希望考生能舉一反三,提高解題速度和答題的準(zhǔn)確率。


  二、錯位排列問題


  1、問題的提出


  排列組合問題向來是考生備考行測數(shù)量關(guān)系的難點(diǎn)之一,而其中的錯位排列問題更是讓考生暈頭轉(zhuǎn)向。不過,雖然錯位排列問題有難度,但是也有快速解決之道。為幫助考生攻克難關(guān),國家公務(wù)員網(wǎng)公務(wù)員考試輔導(dǎo)專家總結(jié)多年教研心得,為考生們詳細(xì)解析錯位排列問題的答題方法。


  錯位排列問題是一個古老的問題,最先由貝努利(Bernoulli)提出,其通常提法是:n個有序元素,全部改變其位置的排列數(shù)是多少?所以稱之為“錯位”問題。大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)等都有所研究。下面先給出一道錯位排列題目,讓廣大考生有直觀感覺。


  例1.五個編號為1、2、3、4、5的小球放進(jìn)5個編號為1、2、3、4、5的小盒里面,全錯位排列(即1不放1,2不放2,3不放3,4不放4,5不放5,也就是說5個全部放錯)一共有多少種放法?


  【解析】直接求5個小球的全錯位排列不容易,我們先從簡單的開始。


   \

  當(dāng)小球數(shù)/小盒數(shù)為1~3時,比較簡單,而當(dāng)為4~6時,略顯復(fù)雜,考生們只需要記下這幾個數(shù)字即可(其實(shí)0,1,2,9,44,265是一個有規(guī)律的數(shù)字推理題,請考生們想想是什么?)由上述分析可得,5個小球的全錯位排列為44種。


  上述是最原始的全錯位排列,但在實(shí)際公務(wù)員考題中,會有一些“變異”。


  例2.五個瓶子都貼了標(biāo)簽,其中恰好貼錯了三個,則錯的可能情況共有多少種?


  【解析】做此類題目時通常分為兩步:第一步,從五個瓶子中選出三個,共有C53種選法;第二步,將三個瓶子全部貼錯,根據(jù)上表有2種貼法。則恰好貼錯三個瓶子的情況有C53×2=20種。


  接下來,考生們再想這樣一個問題:五個瓶子中,恰好貼錯三個是不是就是恰好貼對兩個呢?答案是肯定的,是。那么能不能這樣考慮呢?第一步,從五個瓶子中選出二個瓶子,共有 種選法;第二步,將兩個瓶子全部貼對,只有1種方法,那么恰好貼對兩個瓶子的方法有 種。


  問題出來了,為什么從貼錯的角度考慮是20種貼法,而從貼對的角度考慮是10種貼法呢?


  答案是,后者的解題過程是錯誤的,這種考慮只涉及到兩個瓶子而沒有考慮其他三個瓶子的標(biāo)簽正確與否,給瓶子貼標(biāo)簽的過程是不完整的,只能保證至少有兩個瓶子的標(biāo)簽是正確的,而不能保證恰有兩個瓶子的標(biāo)簽是正確的。所以國家公務(wù)員網(wǎng)公務(wù)員考試輔導(dǎo)專家建議各位考生在處理錯位排列問題時,無論問恰好貼錯還是問恰好貼對,都要從貼錯的角度去考慮,這樣處理問題簡單且不易出錯。


  2 建立數(shù)學(xué)模型


  1) 同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡。則四張賀年卡的不同分配方式有


  A. 6 種     B. 9 種     C. 11 種     D. 23 種


  2)有5 個客人參加宴會,他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi),宴會結(jié)束后每人戴了一頂帽子回家。回家后,他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子。問5個客人都不戴自己帽子的戴法有多少種?


  其實(shí)就是n 個不同元素的一類特殊排列問題,本文試就給出這類問題的數(shù)學(xué)模型及求解公式。為方便,我們先把n 個不同的元素及相應(yīng)的位置都編上序號1, 2, ...... , n,并且約定:在n 個不同元素的排列中


  1. 若編號為i(i = 1, 2, ......, n) 的元素排在第i 個位置,則稱元素i 在原位;否則稱元素i 不在原位。


  2. 若所有的元素都不在原位,則稱這種排列為n 個不同元素的一個錯排(若每個元素都在原位則稱為序排)。按照上面約定,即為n 個不同元素的錯排問題,則可構(gòu)建“裝錯信封問題”的數(shù)學(xué)模型為在n 個不同元素的全排列中,有多少種不同的錯排?


  3 模型求解


  應(yīng)用集合中的容斥原理,我們就可得到“裝錯信封問題”的數(shù)學(xué)模型的求解公式。


  設(shè)I 表示n 個不同元素的全排列的集合


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  4 應(yīng)用舉例


  一個元素的錯排數(shù)顯然為0,二個不同元素的錯排數(shù)為1,三個不同元素的錯排數(shù)為2,均可由公式驗(yàn)證。由公式還可求得四個不同元素的錯排數(shù)為9,五個不同元素的錯排數(shù)為44。


  則問題1)共有9 種不同的分配方式,故選(B)。問題2)共有44種不同的戴法,下面再舉幾例說明公式的應(yīng)用。


  1. 某省決定對所轄8 個城市的黨政一把手進(jìn)行任職交流,要求把每個干部都調(diào)到另一個城市去擔(dān)任相應(yīng)的職務(wù)。問共有多少種不同的干部調(diào)配方案?


  解答:實(shí)質(zhì)上本題即為8 個不同元素的錯排問題,一種干部調(diào)配方法對應(yīng)于8 個不同元素的一個錯排。故由公式可求得不同的干部調(diào)配方案數(shù)為

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  錯位排列問題是排列組合問題里比較模糊、棘手的題型,所以考生們對錯位排列問題一定要善于總結(jié)規(guī)律,熟能生巧,才能在臨考時,準(zhǔn)確抓住解題的突破口。

 

      行測更多作答思路和作答技巧,可參看2013年公務(wù)員考試技巧手冊。



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