在數(shù)量關(guān)系題型中,??嫉挠袃煞N題型,分別是二集合容斥原理和三集合容斥原理。解決容斥原理常用的方法有公式法和畫圖法,其中公式法解決容斥原理是非??焖俚慕忸}方法,只要學(xué)會(huì)公式,理解并能夠熟練應(yīng)用公式,那么容斥原理是考場(chǎng)中比較容易拿分的一種題型。
兩集合容斥原理公式為:滿足條件1的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)-兩者都滿足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)-兩者都不滿足的個(gè)數(shù);
三集合容斥原理分成標(biāo)準(zhǔn)型和非標(biāo)準(zhǔn)型兩種。
三集合標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式為:滿足條件1的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)+滿足條件3的個(gè)數(shù)-滿足兩個(gè)條件的個(gè)數(shù)+三者都滿足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)-三者都不滿足的個(gè)數(shù)。
三集合非標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式為:滿足條件1的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)+滿足條件3的個(gè)數(shù)-“只”滿足兩個(gè)條件的個(gè)數(shù)-2×三者都滿足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)-三者都不滿足的個(gè)數(shù)。
【例1】學(xué)校有300個(gè)學(xué)生選擇參加地理興趣小組,生物興趣小組或者兩個(gè)小組同時(shí)參加。如果80%學(xué)生參加地理興趣小組,50%學(xué)生參加生物興趣小組。問(wèn)同時(shí)參加地理和生物興趣小組的學(xué)生人數(shù)是多少?
A.240
B.150
C.90
D.60
答案:C
【解析】第一步,本題考查容斥問(wèn)題,屬于二集合容斥類,用公式法解題。
第二步,共兩個(gè)興趣小組,其中80%的學(xué)生參加地理興趣小組、50%的學(xué)生參加生物興趣小組,根據(jù)兩集合容斥原理公式:滿足條件1的個(gè)數(shù)+滿足條件2的個(gè)數(shù)-兩者都滿足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)-兩者都不滿足的個(gè)數(shù),設(shè)同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的學(xué)生占比為x,則有80%+50%-x=100%-0,解得x=30%,那么同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的共有300×30%=90(人)。因此,選擇C選項(xiàng)。
【例2】學(xué)某單位共有240名員工,其中訂閱A期刊的有125人,訂閱B期刊的有126人,訂閱C期刊的有135人,訂閱A、B期刊的有57人,訂閱A、C期刊的有73人,訂閱3種期刊的有31人,此外,還有17人沒(méi)有訂閱這三種期刊中的任何一種。問(wèn)訂閱B、C期刊的有多少人?
A.57
B.64
C.69
D.78
答案:B
【解析】第一步,本題考查容斥原理。
第二步,題目中滿足兩個(gè)條件的集合人數(shù)是分別給出的,應(yīng)用三集合標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式解題。設(shè)訂閱B、C期刊的有x人,可列方程:125+126+135-57-73-x+31=240-17,解得x=64(也可利用尾數(shù)法求得尾數(shù)為4)。因此,選擇B選項(xiàng)。
【例3】某班參加學(xué)科競(jìng)賽人數(shù)40人,其中參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有22人,參加物理競(jìng)賽的有27人,參加化學(xué)競(jìng)賽的有25人,只參加兩科競(jìng)賽的有24人,參加三科競(jìng)賽的有多少人?
A.2
B.3
C.5
D.7
答案:C
【解析】第一步,本題考查容斥問(wèn)題,屬于三集合容斥類,用公式法解題。
第二步,設(shè)參加三科競(jìng)賽的有x人,根據(jù)三集合非標(biāo)準(zhǔn)型容斥原理公式可列方程:40-0=22+27+25-24-2x,解得x=5。因此,選擇C選項(xiàng)。