最值問題是數(shù)量關(guān)系中非常重要的一種題型,考察頻率很高。今天山東公務(wù)員考試網(wǎng)(m.www5566.cn)與大家探討一下最值問題中常見的構(gòu)造數(shù)列類題型的解題方法。
構(gòu)造數(shù)列類最值問題是最值問題中難度較高的一種題型。主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面,一是在梳理解題思路中,對(duì)各個(gè)名次的要求需要分析清楚,是應(yīng)該盡可能高還是應(yīng)該盡可能低;二是部分構(gòu)造數(shù)列類最值問題計(jì)算難度較高,那么在計(jì)算時(shí)我們就應(yīng)該盡量結(jié)合一些計(jì)算技巧,例如尾數(shù)法或者相關(guān)公式,以提高計(jì)算速度。下面通過幾道例子詳細(xì)梳理一下構(gòu)造類最值問題解題方法的三個(gè)步驟如何應(yīng)用。
構(gòu)造類最值問題解題方法的三個(gè)步驟如何應(yīng)用
題型特征:最多(少)的…至多(少)…;排名第N的至多(少)……
解題方法:1.排序定位(求誰設(shè)誰);2.構(gòu)造數(shù)列(反向推其他);3.加和求解。
例1. 【2014國(guó)考】某連鎖企業(yè)在10個(gè)城市共有100家專賣店,每個(gè)城市的專賣店數(shù)量都不同。如果專賣店數(shù)量排名第5多的城市有12家專賣店,那么專賣店數(shù)量排名最后的城市,最多有幾家專賣店:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【解題思路】設(shè)專賣店數(shù)量排名最后的城市有x家專賣店。要求專賣店數(shù)量排名最后的城市專賣店的數(shù)量最多,則令其他城市專賣店數(shù)量最少。題目中已知排名第 5 多城市有 12家專賣店,且每個(gè)城市專賣店數(shù)量不同,則可得下表:
根據(jù)該企業(yè)共有100家專賣店的條件,則有16+15+14+13+12+x+4+x+3+x+2+x+1+x=100,解得x=4,正確答案為C。
【點(diǎn)評(píng)】本題在解題過程中“構(gòu)造數(shù)列”時(shí),需要注意題干已經(jīng)給定第五名的城市有12家專賣店,不能忽略掉這一條件,若將第五名構(gòu)造成“x+5”進(jìn)行后續(xù)計(jì)算,結(jié)果會(huì)出現(xiàn)偏差。提醒大家,在構(gòu)造數(shù)列的過程中,一定要注意題干是否有特定條件。
例2. 【2018國(guó)考】某新能源汽車企業(yè)計(jì)劃在A、B、C、D四個(gè)城市建設(shè)72個(gè)充電站,其中在B市建設(shè)的充電站數(shù)量占總數(shù)的,在C市建設(shè)的充電站數(shù)量比A市多6個(gè),在D市建設(shè)的充電站數(shù)量少于其他任一城市。問至少要在C市建設(shè)多少個(gè)充電站?
A. 20
B. 18
C. 22
D. 21
【解題思路】因?yàn)锽市建設(shè)充電站的數(shù)量占總數(shù)的,C市又比A市多6個(gè),D市最少,所以四個(gè)城市充電站個(gè)數(shù)關(guān)系為:B、C兩市建設(shè)充電站的數(shù)量較多,A市第三多,D市最少。要使C市建設(shè)的充電站盡量少,就要讓其他市建設(shè)的充電站盡量多。其中,,D盡量多且比A少,所以D最多為。此時(shí)充電站總個(gè)數(shù),解得,問至少,應(yīng)向上取整,所以C至少建設(shè)21個(gè)充電站。
【點(diǎn)評(píng)】在部分構(gòu)造類最值問題中,解出的答案并非為整數(shù),此時(shí)切不可盲目的進(jìn)行四舍五入,而要根據(jù)題目要求進(jìn)行取舍,提醒大家可以根據(jù)口訣進(jìn)行記憶:“問最多向下取整,問最少向上取整”。例如,我們解出來至多是14.5,那么就不能超過14,此時(shí)向下取整,14才是符合要求的答案。
例3.【2010國(guó)家】某機(jī)關(guān)20人參加百分制的普法考試,及格線為60分,20人的平均成績(jī)?yōu)?8分,及格率為95%。所有人得分均為整數(shù),且彼此得分不同。問成績(jī)排名第十的人最低考了多少分:
A. 88
B. 89
C. 90
D. 91
【解題思路】
如表所示,設(shè)排名第十的人考了x分,要想讓x盡可能低,其他應(yīng)盡可能高。因每人得分不同,則1-9名最高可為100-92分。同時(shí),不及格人數(shù)=20×5%=1人,不及格的人最高只能為59分。11-19名也應(yīng)盡可能高,設(shè)分別比第十名低了1-9分。前9名與倒數(shù)第1名的的總分?jǐn)?shù)=96×9+59=923,則第10-19名的總分?jǐn)?shù)=88×20-923=837。即x+(x-1)+…+(x-9)=837,10x-45=837,解得x=88.2分。問最少向上取整,至少為89分,B項(xiàng)滿足。
【點(diǎn)評(píng)】此題有兩個(gè)特點(diǎn),第一涉及的名次較多,共有20人,如果20個(gè)名次全部構(gòu)造出來則過于浪費(fèi)時(shí)間,故在解題過程中,分?jǐn)?shù)相連的名次可以列為一格。第二計(jì)算量較大,涉及到等差數(shù)列的求和以及多位數(shù)的加減法。建議考生們?cè)诮忸}過程中一定要掌握相應(yīng)的計(jì)算技巧,在此我們利用等差數(shù)列的中位數(shù)進(jìn)行求和便會(huì)大大提高我們的計(jì)算速度。
例4.【2013國(guó)考】某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生,擬分配到該單位的7個(gè)不同部門,假設(shè)行政部門分得的畢業(yè)生人數(shù)比其他部門都多,問行政部門分得的畢業(yè)生人數(shù)至少為多少名:
A.10
B.11
C.12
D.13
【解題思路】要使行政部門少,則其他部門應(yīng)盡量多,設(shè)行政部門分得x名,其他部門均分得(x-1)名,可列式為x+6(x-1)=65,解得x≈10.1,問最少向上取整,行政部門至少分得11名,正確答案為B。
【點(diǎn)評(píng)】在本題中,為什么其他部門分得人數(shù)都可以設(shè)為(x-1)呢?因?yàn)轭}目中沒有說明“各個(gè)部門人數(shù)均不相同”。所以提醒大家記住,如果題干沒說均不相等,則可默認(rèn)相等。
以上就是對(duì)于數(shù)列構(gòu)造最值問題的詳細(xì)講解。本類題型有一定難度但套路性較強(qiáng),需要去構(gòu)造名次及計(jì)算復(fù)雜方程。在構(gòu)造名次時(shí),若涉及的名次較少,可以不需畫出表格,而較為復(fù)雜的推薦畫出表格,如此解題會(huì)更加清晰。提醒大家記住萬變不離其宗,只要知識(shí)點(diǎn)掌握牢固、能夠融會(huì)貫通,無論如何創(chuàng)新如何結(jié)合,我們都可以熟練解決,當(dāng)然這還需要建立在大量練習(xí)的基礎(chǔ)上。